Grupo kleiniano

En matemáticas, un grupo kleiniano es un subgrupo discreto de PSL(2, C). El centro del grupo PSL(2, C) de matrices complejas 2 por 2 de determinante módulo 1 tiene varias representaciones naturales: como transformaciones conformes de la esfera de Riemann, y como isometrías que preservan la orientación en el espacio hiperbólico tridimensional H³, y como aplicaciones conformes que conservan la orientación y que llevan la bola unidad abierta B³ de R³ en sí misma. Además un grupo kleiniano se puede ver como un subgrupo discreto actuando sobre uno de estos espacios.

Hay algunas variaciones en la definición de un grupo kleiniano: a veces se permite que los grupos kleinianos sean subgrupos de PSL(2, C).2 (PSL(2, C) extendido por conjugaciones complejas), en otras palabras, que tengan elementos de reversión de la orientación; y a veces se asume que sean finitamente generados, mientras que otras se requiere que actúen adecuadamente discontinuamente sobre un subconjunto abierto no vacío de la esfera de Riemann. Se dice que un grupo kleiniano es de tipo 1 si el conjunto límite es la esfera de Riemann completa, y en otro caso se dice que es de tipo 2.

La teoría de grupos kleinianos generales fue iniciada por Felix Klein, y Henri Poincaré, quien le puso el nombre de Klein. El caso especial de los grupos de Schottky había sido estudiado unos pocos años antes, en 1877, por Schottky.